Matriks dan Operasi pada Matriks

 A. Notasi dan Definisi Matriks

Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segiempat. Bilangan-bilangan dalam susunan itu disebut anggota dalam matriks tersebut. Ukuran matriks bergantung pada jumlah baris dan kolom dalam susunan tersebut. Misalnya suatu matriks memiliki 2 baris dan 3 kolom, maka ukuran matriks tersebut adalah $2 \times 3$. Angka pertama selalu menunjuk pada jumlah baris, dan angka kedua menunjuk jumlah kolom. Matriks yang hanya memiliki 1 baris disebut matrik baris, sebaliknya matriks yang hanya memiliki 1 kolom disebut matriks kolom. Matriks yang memiliki jumlah baris dan kolomnya sama disebut matriks bujur sangkar/persegi

Suatu matriks biasanya dinyatakan dengan huruf besar, sementara anggota dari matriks tersebut ditulis dengan menggunakan huruf kecil. Anggota dari  matriks A pada baris ke- i dan kolom ke j akan dinyatakan dengan $a_{ij}$. Jadi sebuah matriks A berukuran $2\times 3$ dapat ditulis dengan cara sebagai berikut:

$\displaystyle \begin {pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end {pmatrix}$

Sebuah matriks berukuran $m\times n$ akan dinyatakan sebagai berikut:

                                                                         $\displaystyle A=\begin {pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{23} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\  a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn}  \end {pmatrix}$

Seandainya kita  hanya ingin menuliskan 1 baris atau 1 kolom saja dari matriks A, maka biasanya ditulis dengan huruf kecil tebal seperti berikut ini

                                                 a  $\displaystyle = \begin {pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \end {pmatrix}$                            b $\displaystyle =\begin {pmatrix} b_{11} \\ b_{21} \\ \vdots \\ b_{m1} \end {pmatrix}$  

Pada matriks persegi/bujur sangkar,  diagonal utama adalah anggota-anggota matriks yang berada pada baris dan kolom yang sama. Suatu matriks dikatakan matriks identitas (ditulis dengna I) bila seluruh anggota diagonal bernilai 1 dan yang lainnya 0. Sementara matriks 0 adalah matriks yang seluruh anggotanya bernilai 0.

       I $\displaystyle = \begin {pmatrix} 1 & 0  \\ 0 & 1  \end {pmatrix}$                            I $\displaystyle = \begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {pmatrix}$              I $\displaystyle = \begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end {pmatrix}$              

       0  $\displaystyle  = \begin {pmatrix} 0 & 0 \\  0& 0\\0 & 0 \end {pmatrix}$                        0  $\displaystyle = \begin {pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0& 0& 0\\0 & 0& 0 \end {pmatrix}$              0  $\displaystyle = \begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0& 0 \end {pmatrix}$

B. Operasi pada matriks

Setelah mengetahui definisi mengenai matriks, maka pada pembahasan selanjutnya akan dijelaskan mengenai bentuk operasi yang terdapat pada matriks. Beberapa bentuk itu diantaranya adalah 

1. Penjumlahan dan pengurangan
   Jika A dan B adalah matriks yang berukuran sama, maka jumlah A+B adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B yang berpadanan. Sementara hasil dari A - B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan anggota-nggota A dengan anggota-anggota B yang berpadanan.  
   
   Contoh 1: diketahui Matriks A dan B sebagai berikut :
   
            A = $ \begin {pmatrix} 2 & 4 \\ 8 & 1 \end {pmatrix}$     $\displaystyle B=\begin {pmatrix}  1 & 6 \\ 5 & 3 \end {pmatrix}$. Hitunglah A+B dan A- B !
   
   jawab  
   
              $\displaystyle A+B = \begin {pmatrix} 2 & 4 \\ 8 & 1 \end {pmatrix}+ \begin {pmatrix}  1 & 6 \\ 5 & 3 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix}  2+1 & 4+6 \\ 8+5 & 1+3 \end {pmatrix}=\begin {pmatrix}  3 & 10 \\ 13 & 4 \end {pmatrix}$. 
   
              $\displaystyle A-B = \begin {pmatrix} 2 & 4 \\ 8 & 1 \end {pmatrix}- \begin {pmatrix}  1 & 6 \\ 5 & 3 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix}  2-1 & 4-6 \\ 8-5 & 1-3 \end {pmatrix}=\begin {pmatrix}  1 & -2 \\ 3 & -2 \end {pmatrix}$. 
   
   
   Catatan:
   Dari definisi tersebut, jika ukuran matriks A dan B berbeda, maka kedua matriks tersebut tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
   
   
   
   
2. Perkalian matriks dengan skalar
   Jika A adalah sebuah matriks dan c adalah sembarang skalar, maka hasil kali c A adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap anggota A dengan c.
   
   
   Contoh:  Bila matriks   $\displaystyle A = \begin {pmatrix} 2 & 4 \\ 8 & 1 \end {pmatrix}$, Tentukanlah matriks $B = 4A$.
   
   
   jawab
               $\displaystyle 4 A = 4\times \begin {pmatrix} 2 & 4 \\ 8 & 1 \end {pmatrix}= \begin {pmatrix}  4 \times 2 & 4 \times 4 \\ 4 \times8 & 4 \times 1 \end {pmatrix}=\begin {pmatrix}  8 & 16 \\ 32 & 4 \end {pmatrix}$. 
   
   
   
   
3. Perkalian Matriks dengan Matriks
   Jika A adalah sebuah matriks $m\times r$ dan B adalah matriks $r\times n$, maka hasil kali AB adalah matriks $m\times n$ yang anggota-anggotanya didefinisikan sebagai berikut:
   
   
   "Anggota pada baris ke- i dan kolom ke - j dari perkalian AB adalah dengan memilih terlebih dahulu  baris ke- i matriks A dan kolom ke j matriks B. Setelah itu kalikan anggota-anggota yang berpadanan dari baris dan kolom secara bersamaan dan kemudian jumlahkan hasil kalinya. 
   
   Contoh 2
   
   Diketahui:   $\displaystyle A = \begin {pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 6 & 0 \end {pmatrix}$      dan  $B=\begin {pmatrix}  1 & 6 \\ 5 & 3 \\ 2 &1 \end {pmatrix} $. Hitunglah $A \times B$
   
   Jawab
   
   Matriks A baris ke- 1 = a$_1= \displaystyle \begin {pmatrix} 1&2&4  \end {pmatrix}$        Matriks B kolom ke- 1 = b$_1= \displaystyle \begin {pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end {pmatrix}$
   
   Matriks A baris ke- 2 = a$_2= \displaystyle \begin {pmatrix} 2&6&0  \end {pmatrix}$        Matriks B kolom ke- 2 = b$_2= \displaystyle \begin {pmatrix} 6 \\ 3 \\ 1 \end {pmatrix}$
   
   
   Maka hasil perkalian matriks A dan B adalah
   
   $\displaystyle A\times B = \begin {pmatrix}  a_1 \times b_1 & a_1 \times b_2\\ a_2 \times b_1  & a_2 \times b_2 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} \begin {pmatrix} 1 & 2 & 4 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end {pmatrix}  &&&& \begin {pmatrix} 1 & 2 & 4 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} 6 \\ 3 \\ 1 \end {pmatrix} \\  \\ \begin {pmatrix} 2 & 6 & 0 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end {pmatrix}  &&&& \begin {pmatrix} 2 & 6 & 0 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} 6 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}    \end {pmatrix}$
   
   
                $\displaystyle =\begin {pmatrix} 1.1+2.5+4.2 &&& 1.6+2.3+ 4.1 \\ \\ 2.1+6.5+0.2 &&& 2.6+6.3+0.1 \end {pmatrix}= \begin {pmatrix} 19 &&16 \\ 32 && 30 \end {pmatrix}$ 
   
   
   Metode perhitungan diatas dapat juga dibuat dalam bentuk berikut ini
   
   $\displaystyle A\times B = \begin {pmatrix}  A \times b_1 &  A \times b_2 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} \begin {pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 6 & 0 \end {pmatrix} \times  \begin {pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end {pmatrix} &&& \begin {pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 6 & 0 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} 6\\3\\1 \end  {pmatrix}  \end {pmatrix}$
   
   
                                                  $\displaystyle =\begin {pmatrix} 1 \begin {pmatrix} 1\\2 \end {pmatrix}+5\begin{pmatrix} 2\\6 \end {pmatrix} + 2 \begin {pmatrix} 4 \\ 0 \end {pmatrix} &&&  6 \begin {pmatrix} 1 \\ 2 \end {pmatrix} + 3 \begin {pmatrix} 2\\6 \end {pmatrix} + 1 \begin {pmatrix} 4\\0 \end {pmatrix}      \end {pmatrix}$
   
   
                                                   $ \displaystyle =\begin {pmatrix} 1+10+8 &&  6+6+4 \\2+30+0 &&12+18+0 \end {pmatrix}= \begin {pmatrix} 19 && 16\\32 &&30 \end {pmatrix}$
   
   
   Catatan penting :
   

   Dari definisi perkalian matriks kita dapat menarik kesimpulan bahwa matriks A dapat dikalikan dengan matriks B bila matriks A memiliki jumlah baris sama dengan jumlah kolom matriks B.  Jika matriks C adalah hasil perkalian matriks A yang berukuran $m \times q$ dan matriks B yang berukuran $q \times n$ maka matrix C akan memiliki ukuran $m\times n$. Ada kalanya operasi $A\times B$ dapat didefinisikan tetapi $B \times A$ justru tidak bisa didefinisikan. Oleh karena itu $A\times B$ belum tentu hasilnya sama dengan $B \times A$. Nah... kapan  $A\times B = B \times A$? 
   
   Salah satu teorema penting di dalam matriks menyatakan bahwa  jika B adalah invers dari A, maka $AB=BA = I$ dimana I adalah adalah matriks identitas. Invers dari A biasanya ditulis dengan simbol $A^{-1}$. Kadangkala penyebutan invers bermakna matriks balikan. Jadi bila dikatakan B adalah invers dari A, maka hal itu berarti B merupakan matriks balikan dari A.   

   
   
   
4. Perpangkatan Matrix
   Dalam aritmatika bilangan, perpangkatan merupakan hasil perkalian n faktor dari suatu bilangan tertentu. Demikian juga dengan matriks. Perpangkatan yang terdapat pada aritmatika bilangan berlaku juga pada matriks dengan suatu kondisi tertentu sesuai dengan kaidah yang berlaku pada perkalian matriks. Dengan demikian definisi perpangkatan matriks adalah
   
                           $A^n = \begin {matrix} \underbrace{A\times A \times A \times ....\times A} \\ n. faktor \end {matrix}$
   
                           $(A^{-1})^n = \begin {matrix} \underbrace{A\times A^{-1} \times A^{-1} \times ....\times A^{-1}} \\ n. faktor \end {matrix}$
   
                           $A^m \times A^n = A^{m+n}$ 
   
   Contoh bila dikeahui bila diketahui $A = \begin {pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 5\end {pmatrix}$ hitunglah  $A^4$
   
   jawab
   $A^2 = A \times A =\displaystyle \begin {pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 5 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 5 \end {pmatrix}=\begin {pmatrix} \begin {pmatrix} 3 & 2 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} 3 \\ 1 \end {pmatrix} && \begin{pmatrix} 3 &2 \end {pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end {pmatrix} \\ \begin {pmatrix} 1 & 5 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} 3 \\ 1 \end {pmatrix} && \begin {pmatrix} 1 & 5 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} 2 \\ 5 \end {pmatrix} \end {pmatrix} =\begin {pmatrix} 3.3 +2.1 && 3.2 + 2.5 \\1.3 +5.1 &&1.2+5.5 \end {pmatrix}= \begin {pmatrix} 11 && 16 \\ 8 &&27 \end {pmatrix}$
   
   $A^4 = A^2 \times A^2 =\displaystyle \begin {pmatrix} 11 & 16 \\ 8 & 27 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} 11 & 16 \\ 8 & 27 \end {pmatrix}=\begin {pmatrix} \begin {pmatrix} 11 & 16 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} 11 \\ 8 \end {pmatrix} && \begin{pmatrix} 11 &16 \end {pmatrix} \times \begin{pmatrix} 16 \\ 27 \end {pmatrix} \\ \begin {pmatrix} 8 & 27 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} 11 \\ 8 \end {pmatrix} && \begin {pmatrix} 8 & 27 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} 16 \\ 27 \end {pmatrix} \end {pmatrix} =\begin {pmatrix} 11.11 +16.8 && 11.16 + 16.27 \\8.11 +27.8 &&8.16+27.27 \end {pmatrix}= \begin {pmatrix} 249 && 608 \\ 304 &&857 \end {pmatrix}$
   
   
   
5. Transpose Matriks
   
   Jika A adalah sebarang matrix $m\times n$ maka transpos A dinyatakan dengan $A^T$, didefinisikan sebagai matriks $n \times m$ yang didapatkan dengan mempertukarkan baris dan kolom dari A, yaitu, kolom pertama dari $A^T$ adalah baris pertaa dari A, kolom kedua dari $A^T$ adalah baris ke dua dari A dan seterusnya.
   
   Contoh 3 Tentukan transpose dari matriks berikut ini:
   
   $A = \begin {pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 3 & 8 & 7\\ 0 & 1 & 6 \end {pmatrix}$            $B= \begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 5 & 8 & 9 \end {pmatrix}$
   
   Jawab :
   
   $A^T=\begin {pmatrix} 2  & 3 & 0\\ 3 & 8 & 0\\ 4 & 7 & 6 \end {pmatrix}$                $B^T=\begin {pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 5\\3 & 8 \\ 4 & 9 \end{pmatrix}$
   
   
   Pada kasus khusus dimana A  adalah matriks bujur sangkar, maka $A^T$ dapat diperoleh dengan mempertukankan secara simetris anggota-anggotanya disekitar diagonal utamanya. Artinya, mariks $A^T$ dapat diperoleh dengan mencerminkan A terhadap diagonal utamanya.

Ada beberapa kaidah yang berlaku berkenaan dengan transpose, yakni

• $(A^T)^T=A$
• $(A+B)^T =A^T+B^T$
• $(kA)^T =k A^T$    dengan k adalah besaran skalar
• $AB)^T = B^TA^T$
  
  

C. Sifat Operasi Matrix

Berikut ini merupakan beberapa sifat-sifat yang terdapat pada operasi matriks

• A + B                = B + A
  
• A + (B + C)      = (A + B) + C
• A(BC)              = (AB)C
• A(B+C)            = AB+AC
• (B+C)A            = BA + CA
• A(B-C)             = AB-AC
• (B-C)A             = BA - CA
• a(B+C)             = aB + aC
• a(B-C)              = aB - aC
• (a+b) C             = a C + b C
• (a - b) C            = a C - b C 
• a (bC)               = (ab) C
• a (BC)              = (a B) C        =  B (a C) 

Matriks nol dan Identitas

Bila diperhatikan secara sekilas, operasi matriks di atas, hampir mirip dengan operasi pada aritmatika bilangan. nMun perlu ditegaskan kembali bahwa tidak semua operasi aritmatika bilangan berlaku pada operasi matriks. Sebagai contoh, di dalam operasi aritmatika bilangan berlaku hukum sebagai berikut: 

• Jika $ab =ac$ dan $A\neq 0$ maka $b=c$
• Jika $ad=0$ maka paling tidak salah satu faktor di ruas kiri adalah 0

Salah satu contoh yang menunjukan bahwa kedua hukum terebut tidak berlaku dalam kasus matriks adalah sebagai berikut:

Contoh : diketahui matriks A $\displaystyle = \begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end {pmatrix}$    B $\displaystyle = \begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \end {pmatrix}$     C $\displaystyle =\begin {pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \end {pmatrix}$  D $\displaystyle =\begin {pmatrix} 3 &7 \\ 0 & 0 \end {pmatrix}$. Hitunglah AB,  AC, dan AD!

Jawab
$A \times B = \begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \end {pmatrix}= \begin {pmatrix} 0.1+1.3 &&  0.1+1.4\\ 0.1+2.3 && 0.1 +2.4 \end {pmatrix}=\begin {pmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 8 \end {pmatrix}$

$A \times C = \begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \end {pmatrix}= \begin {pmatrix} 0.2+1.3 &&  0.5+1.4\\ 0.2+2.3 && 0.5 +2.4 \end {pmatrix}=\begin {pmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 8 \end {pmatrix}$

$A \times D = \begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} 3 & 7 \\ 0 & 0 \end {pmatrix}= \begin {pmatrix} 0.3+1.0 &&  0.7+1.0\\ 0.3+2.0 && 0.7 +2.0 \end {pmatrix}=\begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end {pmatrix}$

Contoh di atas menunjukan bahwa meskipun $A \neq 0$, matriks B $\neq$ matriks C dan ada pasangan matriks  bernilai tidak sama dengan nol, jika dikalikan menghasilkan matriks 0. Oleh karena itu, penggunaan hukum aritmatika bilangan tidak sepenuhnya mutlak berlaku pada operasi matriks. Meskipun demikian, beberapa hukum lainnya didalam aritmatika bilangan juga masih berlaku pada operasi matriks dengan syarat bahwa operasi dasar matriks tersebut dapat dilakukan.  Beberapa diantaranya adalah :    

Hubungan antar Sudut-Sudut

        Pada bagian sebelumnya, kita sudah mempelajari konsep dasar sudut dan bagaimana hubungan antar kedua sudut. Apabila masih belum jelas, kalian bisa melihatnya kembali konsep sudut itu di tautan sebelumnya dengan mengklik $\Rightarrow$"Konsep dasar Sudut"$\Leftarrow$. Pada pembahasan kali ini, kita akan lebih mengenal bagaimana hubungan suatu sudut dengan sudut-sudut lainnya pada sebuah garis yang memotong 2 garis yang sejajar. Pada kasus tersebut ada beberapa kemungkinan yang terjadi antara satu sudut dengan sudut yang lainnya, yaitu 

1. sudut sehadap                                     4. sudut dalam bersebrangan
2. sudut dalam sepihak,                          5. sudut luar bersebrangan
3. sudut luar sepihak, 
   
   

A. Definisi dalam dan luar

        Jika kita memiliki sepasang garis yang sejajar maka akan terdapat 3 wilayah yang dipisahkan oleh dua garis sejajar tersebut. Sudut-sudut yang berada di antara kedua garis yang sejajar nantinya akan disebut sudut-sudut bagian dalam wilayah kedua garis yang sejajar, sementara yang lainnya disebut sudut-sudut bagian luar wilayah kedua garis yang sejajar.

Gambar 1

        Pada gambar nampak bahwa $(\angle A_1,\angle A_2,\angle B_3,\angle B_4)$ berada di luar garis g dan garis k. Oleh karena itu, keempat sudut tersebut dikatakan memiliki relasi sudut yang berada di luar garis g dan garis k. Sementara sudut-sudut seperti $(\angle A_3,\angle A_4,\angle B_1,\angle B_2)$, karena letaknya berada di luar garis g dan garis k maka disebut sudut yang berada di luar garis g dan garis k.

B. Definisi Sepihak dan berseberangan

        Jika kita memiliki sebuah garis l yang memotong 2 buah garis yang sejajar, maka akan terdapat 6  bagian, Keenam bagian tersebut terpisahkan menjadi dua bagian sisi oleh garis l sehingga tiga bagian berada pada sisi yang sama sementara 3 lainya berada pada sisi yang berseberangan. Dua buah sudut dikatakan sepihak bila keduanya terletak pada bagian sisi yang sama dari garis l. Sebaliknya, jika dua buah sudut terletak pada bagian sisi yang berbeda dari garis l, maka kedua sudut tersebut dikatakan berseberangan.

Gambar 2

        Pada gambar 2, nampak bahwa garis l membentuk dua bagian yang berbeda warna, yakni bagian sisi yang berwarna kuning dan yang lain berwarna hijau. Sudut-sudut sepihak adalah sudut-sudut yang terletak pada bidang sisi yang berwarna sama. Sudut $(\angle A_1,\angle A_4,\angle B_1,\angle B_4)$ dikatakan sudut yang sepihak satu sama lain karena terletak pada bidang berwarna hijau. Begitu juga dengan sudut $(\angle A_2,\angle A_3,\angle B_2,\angle B_3)$ dikatakan sepihak karena terletak pada bidang berwarna kuning. Namun kelompok $(\angle A_1,\angle A_4,\angle B_1,\angle B_4)$ terletak berseberangan dengan $(\angle A_2,\angle A_3,\angle B_2,\angle B_3)$ karena terpisah oleh garis l.

C, Hubungaan antar Sudut-Sudut

        Setelah kita mengetahui definisi luar-dalam dan sepihak-berseberangan, maka selanjutnya kita akan menentukan sudut-sudut manakah yang mempunyai hubungan satu dengan yang lainnya. Hubungan itu  nantinya akan berkaitan dengan besarnya nilai sudut terhadap sudut lainnya. Jika terdapat garis l yang memotong dua garis yang sejajar, yaitu garis g dan garis k, maka terdapat beberapa hubungan sebagaimana dijelaskan berikut ini:

1. Sudut dalam sepihak
   Dua buah sudut dikatakan miliki hubungan sudut dalam sepihak bila terletak di antara garis g dan garis k serta berada pada bidang sisi yang sama ketika dipisahkan oleh garis l, Jika $\angle A$ dan $\angle B$ memiliki hubungan dalam sepihak, maka berlaku rumus 
   
   
   $\angle A +\angle B = 180^o$
   
   

   Perhatikan gambar!
   
   

   

   gambar 3: Hubungan 2 sudut yang memiliki hubungan dalam sepihak 

   
   
   Nampak pada gambar $\angle A_4$ dan $\angle B_1$ terletak pada bidang berwarna hijau. Karena itu mereka memiliki hubungan  sudut dalam sepihak. Begitu juga dengan $\angle A_3$ dan $\angle B_2$ dimana keduanya terletak pada bidang berwarna biru.  Sehingga $\angle A_3$ dan $\angle B_2$ juga dikatakan sudut-sudut yang memiliki hubungan sudut dalam sepihak. Dengan demikian $\angle A_4 +\angle B_1 = 180^o$ dan $\angle A_3 +\angle B_2 = 180^o$
   
   
2. Sudut luar sepihak
   Dua buah sudut dikatakan miliki hubungan sudut luar sepihak bila terletak di luar garis g dan garis k serta berada pada bidang sisi yang sama ketika dipisahkan oleh garis l, Jika $\angle A$ dan $\angle B$ memiliki hubungan luar sepihak, maka berlaku rumus 
   
   
   $\angle A +\angle B = 180^o$
   
   

   

   gambar 4: sudut-sudut yang memiliki hubungan luar sepihak

   
   Nampak pada gambar $\angle A_2$ dan $\angle B_3$ terletak pada bidang berwarna hijau. Karena itu mereka memiliki hubungan  sudut luar sepihak. Begitu juga dengan $\angle A_1$ dan $\angle B_4$ dimana keduanya terletak pada bidang berwarna biru.  Sehingga $\angle A_1$ dan $\angle B_4$ juga dikatakan sudut-sudut yang memiliki hubungan sudut luar sepihak. Dengan demikian $\angle A_2 +\angle B_3 = 180^o$ dan $\angle A_1 +\angle B_3 = 180^o$
   
   
   
3. Sudut dalam berseberangan
   Dua buah sudut dikatakan miliki hubungan sudut dalam berseberangan bila terletak di antara garis g dan garis k serta berada pada bidang sisi yang berbeda ketika dipisahkan oleh garis l, Jika $\angle A$ dan $\angle B$ memiliki hubungan luar sepihak, maka berlaku rumus 
   
   
   $\angle A =\angle B $
   
   

   

   gambar 5: Sudut-sudut yang memiliki hubungan dalam bersebrangan

   
   Nampak pada gambar $\angle A_4$ dan $\angle B_2$ terletak di antara garis g dan garis k. Kedua sudut itu terpisah oleh garis l sehingga terletak pada bidang yang berbeda. Karena itu mereka memiliki hubungan  sudut dalam berseberangan. Begitu juga dengan $\angle A_3$ dan $\angle B_1$ dimana keduanya terletak di antara  garis g dan garis k tetapi terpisah oleh garis l sehingga keduanya terletak pada bidang yang berbeda.  Oleh karena itu $\angle A_3$ dan $\angle B_1$ juga dikatakan sudut-sudut yang memiliki hubungan sudut dalam berseberangan. Dengan demikian $\angle A_4 =\angle B_2 $ dan $\angle A_3 =\angle B_1 $
   
   
4. Sudut luar berseberangan
   Dua buah sudut dikatakan miliki hubungan sudut luar berseberangan bila terletak di luar garis g dan garis k serta berada pada bidang sisi yang berbeda ketika dipisahkan oleh garis l, Jika $\angle A$ dan $\angle B$ memiliki hubungan luar sepihak, maka berlaku rumus 
   
   
   $\angle A =\angle B $
   
   

   

   gambar 6: sudut-sudut yang memiliki hubungan luar bersebrangan

   
   
   

   Nampak pada gambar $\angle A_1$ dan $\angle B_3$ terletak di luar garis g dan garis k. Kedua sudut itu terpisah oleh garis l sehingga terletak pada bidang yang berbeda. Karena itu mereka memiliki hubungan  sudut luar berseberangan. Begitu juga dengan $\angle A_2$ dan $\angle B_4$ dimana keduanya terletak di luar  garis g dan garis k tetapi terpisah oleh garis l sehingga keduanya terletak pada bidang yang berbeda.  Oleh karena itu $\angle A_2$ dan $\angle B_4$ juga dikatakan sudut-sudut yang memiliki hubungan sudut dalam berseberangan. Dengan demikian $\angle A_1 =\angle B_3 $ dan $\angle A_2 =\angle B_4 $
   
   
5. Sudut sehadap
   Sepasang sudut dikatakan memiliki hubungan sehadap apabila terletak pada satu bidang sisi garis l tetapi salah satu sudutnya berada di luar sementara yang lainnya berada di dalam dua garis yang sejajar. Keduanya seakan-akan  berada pada posisi menghadap ke arah yang sama. Jika $\angle A$ dan $\angle B$ memiliki hubungan sehadap maka berlaku rumus:

$\angle A =\angle B $

Gambar 7: Sudut-sudut yang memiliki hubungan sehadap

Gambar di atasi menunjukan bahwa $\angle A_1$ terletak di luar garis g sementara $\angle B_1$ terletak di antara garis g dan garis k. Namun demikian keduanya terletak pada bagian sisi yang sama di bagian kiri garis l. Kedua sudut itu seakan-akan menghadap ke atas dengan arah posisi menghadap yang sama sehingga mereka dapat disebut memiliki hubungan sudut sehadap. Dengan demikian $\angle A_1=\angle B_1$. Pasangan sudut sehadap lainnya adalah

           $\angle A_2$   $\Leftrightarrow$   $\angle B_2$ 

           $\angle A_4$   $\Leftrightarrow$   $\angle B_3$ 

           $\angle A_4$   $\Leftrightarrow$   $\angle B_4$ 

KESIMPULAN

Dari pembahasan kali ini, kita dapat menarik sebuah kesimpulan praktis mengenai hubungan sudut-sudut yang terletak pada dua buah garis sejajar yang dipotong oleh sebuah garis. Point utamanya adalah jika $\angle A$ dan $\angle B$ merupakan sudut yang berbeda tetapi keduanya terletak pada sebuah garis yang memotong dua garis sejajar, maka kita bisa menentukan apakah $\angle A = \angle B$ ataukah $\angle A = 180^o -\angle B$. Gambar di bawah ini menunjukan  sudut-sudut  yang memiliki nilai yang sama dan yang memiliki nilai $180^o-x$, jika yang lainnya bernilai $x^o$.

Contoh soal

1. Perhatikan gambar berikut!
   
   
   
   
   
   Besar x sudut adalah ....
   
   jawab:
   Misalkan terdapat $\angle A$ seperti ditunjukan pada gambar berikut
   
   
   

   
   
   
   karena $\angle A$ saling bertolak belakang dengan yang bernilai $150^o$ maka $\angle A =150^o$, Tetapi $\angle A$ memiliki hubungan sudut luar sepihak dengan sudut yang bernilai x. Oleh karena itu $ x = 180^o$-150^o$=30^o$
    
2. Diketahui beberapa sudut seperti pada gambar berikut ini!
   
   
   

   
   
   
   Tentukan nilai x, y, dan z!
   
   jawab
   
   Misalkan $\angle P= x , \angle Q = y, \angle R = z, \angle A = 75^o,\angle B = 83^o$ sebagaimana terlihat dalam gambar. maka $\angle A$ dan  $\angle R = z $  merupakan dua sudut yang saling bertolak belakang. Oleh karena itu  $z=\angle A = 75^o$. Selain itu, $\angle A $ dan $\angle P = x $ memiliki hubungan dalam bersebrangan. Maka dari itu $ x=\angle A = 75^o$ 
   
   $\angle B$ dan  $\angle Q^o = y $  merupakan sudut yang memiliki hubungan luar berseberangan. Oleh karena itu  $y=\angle B = 83^o$. 
   
   
   
3. Berapakah nilai x dan y pada gambar dibawah ini?
   
   
   

   
   
   
   
   Jawab
   
   $\angle ABD$ dan $\angle CDB$ memiliki hubungan dalam sepihak. Oleh karena itu
   
           $\angle ABD +\angle CDB =180^o$
                  $\Leftrightarrow$ $130^o +5x=180^o$
                  $\Leftrightarrow$ $5x =180^o-130^o =50^o $
   
                  $\Leftrightarrow$ $x =\displaystyle \frac{50^o}{5}=10^o $
   
   $\angle ABD$ dan $\angle DFGB$ memiliki hubungan dalam berseberangan. Oleh karena itu $\angle ABD = \angle DFGB$. Selanjutnya $\angle ABD$ dan $\angle IFGB$ saling berpelurus. Oleh karena itu
   
           $\angle ABD +\angle IFG =180^o$
                  $\Leftrightarrow$ $130^o +4y=180^o$
                  $\Leftrightarrow$ $5x =180^o-130^o =50^o $
   
                  $\Leftrightarrow$ $\displaystyle x =\frac{50^o}{4}=12,5^o $
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

Konsep Sudut dan hubungan antar 2 sudut pada dua garis yang saling berpotongan

A. Konsep dasar 

          Sudut merupakan hasil perpotongan dua sinar garis yang bertemu di suatu titik. Titik dimana dua sinar garis bertemu disebut dengan titik sudut. Ada beberapa teknik yang dipakai dalam menamakan sudut. Didalam dunia matematika, simbol sudut dilambangkan dengan "$\angle$" dan diikuti dengan huruf Kapital atau huruf  Yunani seperti $\angle A, \angle ABC, \angle \beta$, dll. Huruf kapital digunakan untuk merujuk pada titik yang dinamai huruf kapital. Misalnya $\angle A$ berarti merujuk pada sudut di titik A. Bila menggunakan 3 huruf kapital, maka huruf yang berada ditengah merujuk pada titik sudut yang dihasilkan dari perpotongan dua garis yang membentuk sudut tersebut. Misalnya $\angle ABC$ berarti sudut pada titik B yang dibatasi garis AB dan garis BC. Sedangkan bila menggunakan huruf Yunani, merujuk pada daerah yang dibatasi oleh dua garis yang berpotongan di titik sudutnya. Besarnya nilai sudut diukur dalam satuan derajat. Sudut 1 putaran penuh bernilai 360$^o$. 

Beberapa tekni penamaan sudut

B. Nama sudut berdasarkan nilainya

    Besarnya nilai sudut biasanya berkisar antara $-360^o$ sampai dengan $360^o$. Tanda negatif menunjukan perputaran searah jarum jam dari posisi awalnya, sebaliknya tanda positif, berarti perputaran berlawanan jarum jam. Bila besarnya sudut lebih dari $360^o$, hal itu berarti diputar berlawanan arah lebih dari satu kali putaran. Alat yang biasa dipakai untuk mengukur besarnya sudut adalah busur derajat.

Beberapa penamaan sudut sering kali dikaitkan dengan besarnya sudut. Beberapa diantaranya misalnya:

• sudut 1 putaran penuh : besarnya sudut 1 putaran penuh adalah $360^o$.
• Sudut siku-siku           : besarnya sudut = $90^o$
• Sudut pelurus              : sudut yang besarnya $180^o$
• Sudut lancip                : sudut yang besarya  antara $90^o$ sampai $180^o$ 
• Sudut tumpul              : Sudut yang besarnya lebih dari $90^o$ 
• Sudut reflektif             : Sudut yang besarnya antara $180^o$ sampai $360^o$  
  
  

C. Hubungan antara dua sudut

Pembicaraan mengenai sudut juga berkaitan dengan hubungan satu sudut dengan sudut lainnya. Beberapa istilah berkenaan dengan sudut dijelaskan sebagai berikut:

1. Sudut berpenyiku

Dua buah sudut dikatakan berpelurus apabila hasil penjumlahan besarnya kedua sudut sama dengan $90^o$

Pada gambar di atas, $\angle ABD + \angle CBD = 90^o$. Dengan demikian kedua sudut tersebut dikatakan saling berpenyiku. $\angle ABD$ dapat dikatakan sebagai penyiku dari $\angle CBD$, Demikian juga sebaliknya $\angle CBD$ dapat disebut sebagai penyiku dari $\angle ABD$ 

 

 2. Sudut berpelurus

Dua buah sudut dikatakan berpelurus bila jika besarnya kedua sudut itu dijumlahkan, hasilnya $180^o$. 

Pada gambar di atas $\angle BDC$ dan $\angle ADC$ dikatakan saling berpelurus sebab $\angle BDC+\angle ADC=180^o$. Semua sinar garis mememiliki sudut sebesar $180^o$

  3 Sudut saling bertolak belakang

Dua buah garis yang bersilangan memiliki dua pasang sudut yang saling bertolak belakang. Kedua sudut yang saling bertolak belakang memiliki nilai yang sama. Dengan kata lain jika $\angle A$ dan $\angle B$ bertolak belakang, maka $\angle A = \angle B$. 

Pasangan dua sudut yang saling bertolak belakang

Pada gambar di atas $\angle AOD$ dan $\angle EOB$ merupakan  pasangan sudut yang saling bertolak belakang. Begitu juga $\angle AOB$ dan $\angle DOE$ keduanya merupakan pasangan sudut yang saling bertolak belakang. Dengan demikian $\angle AOB = \angle DOE$ dan $\angle AOD = \angle BOE$.

Contoh soal

1. Tentukanlah besar $\angle COD$ pada gambar 1 dan $\COA pada  gambar 2!
   
   

   

   gambar 1                                             gambar 2

   
   Jawab.
    
   Pada gambar 1
   $\angle BOC$ adalah sudut siku-siku dan $\angle COD$ merupakan penyiku dari $\angle BOD$. Dengan demikian:
   
            $\angle BOD +\angle COD = 90^o$
   $\Leftrightarrow$      $50^o +\angle COD = 90^o$
   $\Leftrightarrow$     $ \angle COD = 90^o-50^o =40^o$
   
   Pada gambar 2
   $\angle AOB$ adalah garis lurus sehingga $\angle AOB=180^o$.  $\angle COD$ merupakan pelurus dari $\angle BOD$. Dengan demikian:
   
            $\angle BOC +\angle AOC = 180^o$
   $\Leftrightarrow$      $75^o +\angle AOC = 180^o$
   $\Leftrightarrow$     $ \angle COD = 180^o-75^o =105^o$
   
   
2. Perhatikan gambar berikut 
   
   
   
   
   Jika $\angle BDC = 145^o$ dan  $\angle ACD = 60^o$, berapakah besar sudut A?
   
   Jawab
   titik D terletak pada garis AB. Dengan demikian $\angle BDC $ dan $\angle ADC$ saling berpelurus. Hal ini menunjukan bahwa 
   
          $\angle BDC + \angle ADC=180^o$
   $\Leftrightarrow$      $145^o +\angle ADC = 180^o$
   $\Leftrightarrow$     $ \angle COD = 180^o-145^o =35^o$
   
   Hasil penjumlahan ketiga sudut segitiga adalah $180^o$. Dengan demikian pada $\bigtriangleup ADC$ juga berlaku 
   
          $\angle ADC +\angle DAC +\angle ACD =180^o$
   $\Leftrightarrow$      $35^o +\angle DAC +60^o = 180^o$
   $\Leftrightarrow$      $ 95^o+\angle COD =180^o$
   $\Leftrightarrow$     $ \angle COD = 180^o-95^o =85^o$
   
   
   
3. Perhatikan gambar berikut!
   
   
   
   
   
   Jika $\angle ACB=30^o$  dan $\angle EDC = 150^o$, berapakah nilah $x,y$ dan z.
   
   Jawab
   Garis EH dab garis AF berpotongan di titik D. Karena itu $\angle CDE$ dan $\angle KDF$ saling bertolak belakang. dengan demikian
   
          $\angle KDF= \angle CDE =180^o$
   $\Leftrightarrow$      $5z +25^o = 150^o$
   $\Leftrightarrow$      $ 5z =150^o-25^o=125^o$
   
   $\Leftrightarrow$        $ \displaystyle z = \frac{125}{5}=25^o$
   
   Titik C terletak pada garis BG. Dengan demikian $\angle BCA$ dan $\angle ACK$ saling berpelurus, sehingga berlaku sifat 
   
          $\angle BCA + \angle ACK =180^o$
   $\Leftrightarrow$      $30^o +\angle ACK = 180^o$
   $\Leftrightarrow$      $\angle ACK=180^o-30^o=150$
   
   Untuk mendapatkan nilai x, kita perlu mengetahui besar $\angle CKD$. Caranya sebagai berikut
   
   *) garis AF dan BG bepotongan di titik C, maka $\angle ACB =\angle KCD$. Dengan demikian $\angle KCD = \angle ACB = 30^o$.
   
   *) titik D terletak pada garis HE. Dengan demikian $\angle CDK$ dan $\angle CDE $ merupakan sudut saling berpelurus. Maka dari itu 
   
          $\angle CDK + \angle CDE =180^o$
   $\Leftrightarrow$      $\angle CDK +150^o  = 180^o$
   $\Leftrightarrow$      $\angle CDK=180^o-150^o=30$
   
   Kemudian $\angle KCB, \angle CDK$ dan $\angle CKD$ adalah sudut yang terdapat di dalam $\bigtriangleup KCD$. Dengan demikian berlaku sifat segitiga yaitu
   
          $\angle KCD + \angle CDK +\angle CKD=180^o$
   $\Leftrightarrow$      $30^o +30^o +\angle CKD= 180^o$
   $\Leftrightarrow$      $60^o+\angle CKD=180^o$
   $\Leftrightarrow$      $\angle CKD=180^o-60^o=120^o$
   
   Perhatikan bahwa garis HE dan BG berpotongan dititik K. Dengan demikian $\angle CKD$ dan $\angle BKG$ saling berpelurus. Maka  
       $\angle BKG+\angle CKD=180^o$
   $\Leftrightarrow$      $2x+120^o= 180^o$
   $\Leftrightarrow$      $2x=180^o-120^o=60$
   $\Leftrightarrow$      $\displaystyle \angle x=\frac{60}{2}=30^o$
   
   

 

 

Latihan soal untuk persiapan OSN SMP Januari 2022 bag.1

Kerjakanlah soal berikut ini dengan baik dan benar!

1. Jika a adalah bilangan bulat, buktikan bahwa $(a^9-a)$ dapat dibagi dengan 6! 
   
   
2. Sebuah lingkaran memotong segitiga ABC  pada sisi AC dan BC. Titik potong pada garis AC adalah A  dan BC berturut- turut adalah E. Diameter dari lingkaran tersebut adalah sisi AB dari segitiga tersebut. Panjang diameter lingkaran tersebut adalah 30 cm, Jika AD : AC = 1 : 3 dan BE : BC = 1: 4, tentukan luas lingkaran tersebut!
   
   
3. Banyaknya pasangan terurut bilangan bulat yang memenuhi persamaan $a^2+b^2=a+b$ adalah ..
   
   
4. Diberikan trapesium ABCD dengan AB sejajar DC dan AB = 84 serta DC = 25. Jika ABCD memiliki lingkaran dalam yang menyinggung keempat sisinya, keliling trapesium ABCD adalah ...
     
5. Hitunglah nilai dari $1^2-2^2+3^2-4^2+5^2-6^2+...-2022^2+2023^2= ...
   
   
6. Indrra menggambar suatu garis AB dengan panjang 15 cm. Dengan pusat A dan B dibuat busur lingkaran dengan jari-jari berturut-turut 8 cm dan 17 cm sedemikian sehingga kedua busur tersebut saling berpotongan di titik C. Jika i Indra ingin membuat suatu lingkaran yang melalui titik A, B, dan C, berapa luas lingkaran yang terbentuk? (nyatakan dalam $\pi)
   
   
7. Pada persegi ABCD, titik O adalah titik tengah sisi AB. Lingkaran L berjari-jari 1 berpusat di O melewati titik A dan titik B. Jika titik P pada lingkaran L sedemikian sehingga AOP merupakan segitiga sama sisi maka keliling segitiga DPC adalah ...
   
   
8. 
   
   
   

jawaban

1. $(a^9-a)=a(a^8-1)=a(a^4-1)(a^4+1)=a(a^2-1)(a^4+1)(a^4+1)$
                  $=a(a-1)(a+1)(a^4+1)(a^4+1) = (a-1)a(a+1)(a^4+1)(a^4+1)$.
   
   Perhatikan bahwa 3 faktor pertama, yakni $(a-1) a (a+1)$. Dari soal diketahui a adalah bilangan bulat. Maka jelas (a - 1), a. dan  (a + 1) adalah tiga bilangan berurutan. Dengan demikan,  salah satu dari ketiga bilangan berurutan itu pasti habis dibagi 3 sehingga hasil kali ketiga bilangan tersebut pasti habis dibagi 3. Selain itu, salah satu dari ketiga bilangan berurutan  tersebut pastinya juga bilangan genap, yang artinya bisa dibagi 2. dengan demikian hasil perkalian dari $(a-1) a (a+1)$ juga habis dibagi 6. Kesimpulannya, karena  $(a-1) a (a+1)$ adalah faktor dari $(a^9-a)$ dan $(a-1) a (a+1)$ habis dibagi 6, maka $(a^9-a)$ juga habis dibagi 6. 
   
   
2. Perhatikan gambar di bawah ini
   
   
   
   $\angle AEB$ dan $\angle ADB$ masing-masing adalah sudut keliling  lingkaran. Karena AB adalah diameter lingkaran, maka  $\angle AEB =\angle ADB =90^o$. Dengan demikian $\triangle ADB$ dan $\triangle ABE$ adalah segitiga siku-siku. Dengan mengginakan Phytagoras didapatkan:
   
   Perhatikan garis tinggi BD dan AE pada $\bigtriangleup ABC}
   
   untuk garis tinggi BD                                                        untuk garis tinggi AE
         $BD^2 = (4y)^2 - (2x)^2 = 16y^2 -4x^2$                     $AE^2 = (3x)^2 - (3y)^2 = 9x^2 - 9^2y$   
         $BD^2 = 30^2 - x^2$                                                      $AE^2 = 30^2 - y^2 $
   $\Leftrightarrow$ $30^2 -x^2 = 16 y^2 -4x^2$                                               $\Leftrightarrow$       $30^2 -y^2 = 9x^2 -9y^2$  
   $\Leftrightarrow$ $30^2 = -3x^2+16 y^2 $  ....(*)                                          $\Leftrightarrow$       $30^2 = 9x^2 -8y^2$ ....(**)
   
   Dari persamaan (*) dan persamaan (**) diperoleh
   
    $30^2 = -3x^2+16 y^2 $       kalikan 3    $3.30^2 = -9x^2+48 y^2 $  
    $30^2 = 9x^2 -8y^2$            kalikan 1    $\underline{30^2 = 9x^2 -8y^2}+$ 
                                                  $\Leftrightarrow$   $4 . 30^2 = 40 y^2$
                                                  $\Leftrightarrow$       $\displaystyle  y^2=\frac{4 . 30^2}{40}=\frac{30^2}{10} $  
                                                  $\Leftrightarrow$       $\displaystyle  y=\frac{30}{10}\sqrt{10}=3\sqrt{10}$  
   
   Dengan demikian $\displaystyle AE = \sqrt{30^2-y^2}= \sqrt{30^2-\frac{30^2}{10}}=\sqrt{30^2.\left (1- \frac{30^2}{10}\right )}=30.\sqrt{\frac{9 }{10}}$
            $\Leftrightarrow$    $\displaystyle =\frac {30.3}{10}.\sqrt{10}=9\sqrt{10}$
   
   
   Jadi luas $\displaystyle \bigtriangleup ABC = \frac{1}{2}.BC'AE= = \frac{1}{2}.4.3\sqrt{10}.9\sqrt{10}=540$ cm$^2$
   
   
3. $a^2+b^2=a+b$    $\Leftrightarrow$    $ a^2+b^2+(a-1)^2+(b-1)^2=2$
   Pada persamaan terakhir jelas bahwa  $ a^2+b^2+(a-1)^2+(b-1)^2 \geq 0$. Selain itu bentuk persamaan terakhir menyebabkan $0 \leq a^2 \leq 1$ dan $0 \leq b^2 \leq 1$. Karena pada soal diketahui a dan b adalah bilangan bulat maka hanya ada 2 kemungkinan untuk nilai a yakni $a^2= 0$ atau $a^2 = 1$. 
   
   jika $a^2=0$   maka a = 0
   dengan demikian $ a^2+b^2+(a-1)^2+(b-1)^2=2$   $\Rightarrow$  $0^2+b^2+(0-1)^2+(b-1)^2=2$  

   $\Rightarrow$  $b^2+1+b^2-2b +1=2$                                                                               $\Rightarrow$  $b^2-b = 0$                                                                                $\Rightarrow$   b = 0 atau b = 1.

   Jika $a^2= 1$ maka $a = -1$ atau $a = 1$
       a. Untuk $a=-1$
           $a^2+b^2+(a-1)^2+(b-1)^2=2$      $\Rightarrow$  $(-1)^2+b^2+((-1)-1)^2+(b-1)^2=2$ 
                                                                            $\Rightarrow$  $1+b^2+4+b^2-2b +1=2$ 
                                                                            $\Rightarrow$  $1+b^2+4+b^2-2b +1=2$
                                                                            $\Rightarrow$  $b^2-b +2= 0$ 
          Bentuk terakhir tidak menghasilkan akar-akar yang bernilai real karena $D=(-1)^2-4.1.2 \leq 0$.
          Dengan demikian a = -1 bukan solusi dari persamaan tersebut.
   
       b. Untuk $a=1$
           $ a^2+b^2+(a-1)^2+(b-1)^2=2$       $\Rightarrow$  $(1)^2+b^2+((1)-1)^2+(b-1)^2=2$ 
   
                                                                             $\Rightarrow$  $1+b^2+b^2-2b +1=2$ 
                                                                             $\Rightarrow$  $b^2-b = 0$. 
   
           Bentuk persamaan terakhir menghasilkan b = 0 atau b = 1.
   
   Dengan demikian himpunan pasangan terurut (a, b) yang memenuhi persamaan tersebut adalah {(0,0), (0,1),(1,0), (1,1)}.
   
   
4. Perhatikan gambar berikiut
   
   
   
   
   Jika titik P di luar lingkaran dan garis yang ditarik dari P menyinggung lingkaran tersebut di titik Q dan R maka PQ = PR. Dari gambar tersebut jelas diperoleh DG = DH ; BF = BE ; AE = AH ; Dengan demikian 
   
   keliling = AE + EB+ FB + CF + GC + DG + DH + AH
                = 2 (AE+EB + CG +GD )  
                = 2 (AB + CD) = 2 (25+84) = 218     
   
   
5. $u_1=2^2-3^2 = (2-3)(2+3) = -5$              
   $u_2=4^2-5^2 = (4-5)(4+5) = -9$            
   $u_3=6^2-7^2 = (6-7)(6+7) = -13$     
   $u_4=8^2-9^2 = (8-9)(8+9) = -17$
   $u_5=10^2-11^2 = (10-11)(10+11) = -21$
                       $\vdots$
   $u_{1011}=2022^2-2023^2 = (2022-2023)(2022+2023) = -4045$
   
   Dengan demikian terbentuk pola barisan baru 1, -5, -9, -13, ...,-4045. Barisan tersebut memiliki $u_1=1^2$ dan barisan aritmatika {$u_2, u_3, u_4,..., u_{1012}$} selisih 4 dan suku pertamanya -5.
   
   Dengan demikian 
   $S_{1012}= 1^2+S_{1011}$
   $ \displaystyle = 1+\frac {1011}{2}\times (2.-5+(1011-1)-4)$
   $ \displaystyle = 1+\frac {1011}{2}\times (-10+(-4040))$
   $ \displaystyle = 1+\frac {1011}{2}\times 2.-2025$
   $ \displaystyle =1-1011\times 2.-2025$ 
   $ \displaystyle =1- 2.047.275$
   $ \displaystyle =-2,047275$ 
   
   
6. Berdasarkan sifat-sifat pada lingkaran, maka $\bigtriangleup ABC$ adalah segitiga sku-siku. Karena $r_A =8 <r_B =17$ maka AC = 8 cm dan BC =17cm. Agar lingkaran baru yang dibuat nantinya melalui A, B, dan C maka berdasarkan hubungan sudut pusat dan sudut keliling,  lingkaran yang baru akan menjadikan BC sebagai diameternya. Dengan demikian lingkaran terbesar yang dapat dibentuk tentu berdiameter 17 cm. Berdasarkan ilustrasi ini, maka luas lingkaran terbesar yang akan dibentuk adalah 
   
   Luas lingkaran =$\displaystyle \pi r^2 =\pi \left ( \frac{17}{2} \right )^2 =\frac{289}{4}\pi $ cm$^2$.
   
   
7. Ada 2  kondisi yang mungkin terjadi
   
   a. jika P berada didalam persegi ABCD
   
   

   AB = 2 EO =AE =OP =1  $\displaystyle AE=EO=\frac{1}{4}AB=\frac{1}{2}$ EP = $\displaystyle {\sqrt OP^2-EO^2}=\sqrt {1^2-\left ( \frac{1}{2} \right )^2}=\sqrt {1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt 3$ Dengan demikian FP = $\displaystyle 2 - \frac{1}{2}\sqrt 3 =\frac{4-\sqrt 3}{2}$

   DF = AE = $\displaystyle \frac{1}{2}$ dan CF = $\displaystyle 2 - \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$
   
   CP =$\displaystyle \sqrt{FP^2+CF^2}$ = $\displaystyle \sqrt{\left ( \frac{4-\sqrt 3}{2} \right )^2+\left ( \frac{3}{2} \right )^2}= \frac {1}{2}\sqrt {16-8 \sqrt 3+3+9} $ 
   
   $\displaystyle =  \frac {1}{2}\sqrt {4(7-2 \sqrt 3)}=\sqrt {7-2 \sqrt 3} $
   
   
   DP =$\displaystyle \sqrt{FP^2+DF^2}$ = $\displaystyle \sqrt{\left ( \frac{4-\sqrt 3}{2} \right )^2+\left ( \frac{1}{2} \right )^2}= \frac {1}{2}\sqrt {16-8 \sqrt 3+3+1} $ 
   
   $\displaystyle =  \frac {1}{2}\sqrt {4(5-2 \sqrt 3)}=\sqrt {5-2 \sqrt 3} $
   
   Dengan demikian Keliling $\displaystyle \bigtriangleup CDP = CD+CP+DP =2 + \sqrt {7-2 \sqrt 3}+\sqrt {5-2 \sqrt 3}$  
   
   
   Pembahasan kondisi dimana P berada di luar persegi ABCD bisa dijadikan latihan. Model dan cara pengerjaannya hampir serupa. Sebagai cluenya, akan ditunjukan gambar penampakannya saat P berada di luar persegi ABCD beserta hasilnya. Selamat berlatih ...
   
   
   
   
   

Cara menentukan luas segitiga dengan menggunakan konsep trigonometri

Sejak duduk di sekolah dasar, kita sudah mengenal rumus mencari luas segitiga. Biasanya, cukup dengan mengetahui alas dan tinggi segitiga, kita sudah dapat mencari luas segitiga yakni luas segitiga = $\displaystyle \frac{1}{2}\times a_{\bigtriangleup}\times t_{\bigtriangleup}$ dimana $a_{\bigtriangleup}$ dan $t_{\bigtriangleup}$ masing-masing adalah alas dan tinggi segitiga tersebut.

Namun, ketika kita mempelajari materi tentang trigonometri, rumus ini dapat dikembangkan lebih lanjut. Beberapa rumus mencari luas segitiga akan dibahas dalam penjabaran berikut ini.

A. Menentukan luas segitiga dengan aturan Sinus

Perhatikan gambar segitiga di atas

Berdasarkan konsep trigonometri maka didapatkan:

       sin $\displaystyle \beta=\frac{AD}{BC}=\frac{t}{BC}$  $\Leftrightarrow$   t = BC . sin $\beta$

       sin $\displaystyle \theta=\frac{AD}{AC}=\frac{t}{AC}$  $\Leftrightarrow$   t = AC . sin $\theta$

Sebagaimana kita ketahui luas segitiga adalah

       luas segitiga = $\displaystyle \frac{1}{2}\times a_{\bigtriangleup}\times t_{\bigtriangleup}$

                             = $\displaystyle \frac{1}{2}\times AB \times BC .$ sin $\beta$         jika panjang BC diketahui

       luas segitiga = $\displaystyle \frac{1}{2}\times a_{\bigtriangleup}\times t_{\bigtriangleup}$

                             = $\displaystyle \frac{1}{2}\times AB \times BC . $ sin $\theta$         jika panjang AC diketahui

dengan cara yang sama, jika sudut yang menghadap AB adalah $\alpha$ dan panjang BC dan AC diketahui, maka 

      luas segitiga = $\displaystyle \frac{1}{2}\times AC \times BC . $ sin $\alpha$ 


B. Menentukan Luas segitiga bila panjang semua sisinya diketahui      

Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali kita menemukan bentuk segitiga sembarang yang hanya diketahui panjang sisi-sisinya. Padahal untuk menghitung luas segitiga kita memerlukan sekurang-kurangnya 1 bagian alas beserta tingginya atau dua sisi segitiga dan sudut yang mengapitnya. Apabila masalah seperti ini didapati, salah satu tekniknya adalah dengan menggunakan keliling segitiga dan menggunakan rumus berikut ini:

       Keliling $\bigtriangleup ABC=K_{\bigtriangleup ABC}=AB+BC+AC $  dan $\displaystyle S= \frac{1}{2} \times K_{\bigtriangleup ABC}$

          Luas $\bigtriangleup ABC = S.\sqrt{S.(S-AB).(S-BC).(S-AC)}$

Untuk membuktikan rumus ini, kita perlu ingat bahwa 

• sin$^2$ $\alpha$ + cos$^2$ $\alpha$ = 1   $\Leftrightarrow$   sin$^2$ $\alpha$ = 1 -  cos$^2$ $\alpha$  $\Leftrightarrow$   sin$^2$ $\alpha$ = (1 -  cos$\alpha$) (1 +  cos$\alpha$)
  
  
• cos$\alpha$ $\displaystyle =\frac{BC^2+AC^2-AB^2}{2.BC.AC}$

Sekarang perhatikan

         sin$^2$ $\alpha$ = (1 -  cos$\alpha$) (1 +  cos$\alpha$)

 $\Leftrightarrow$    sin$^2$ $\alpha$ = (1 -  cos$\alpha$) (1 +  cos$\alpha$)

 $\Leftrightarrow$    sin$^2$ $\alpha$ = $\displaystyle \left (1 -  \left (\frac{BC^2+AC^2-AB^2}{2.BC.AC} \right ) \right )\left (1 +  \left (\frac{BC^2+AC^2-AB^2}{2.BC.AC} \right ) \right )$

$\Leftrightarrow$    sin$^2$ $\alpha$ = $\displaystyle \left (  \frac{2.BC.AC-(BC^2+AC^2-AB^2)}{2.BC.AC} \right )\left (\frac{2.BC.AC+(BC^2+AC^2-AB^2)}{2.BC.AC} \right )$

$\Leftrightarrow$    sin$^2$ $\alpha$ = $\displaystyle \left (  \frac{AB^2-(BC^2-2.BC.AC+AC^2)}{2.BC.AC} \right )\left (\frac{-AB^2+(BC^2+2.BC.AC+AC^2)}{2.BC.AC} \right )$

$\Leftrightarrow$    sin$^2$ $\alpha$ = $\displaystyle \left (  \frac{AB^2-(BC-AC)^2}{2.BC.AC} \right )\left (\frac{-AB^2+(BC+AC)^2}{2.BC.AC} \right )$

$\Leftrightarrow$    sin$^2$ $\alpha$ = $\displaystyle \left (  \frac{(AB+AC-BC)(AB+BC-AC)}{2.BC.AC} \right )\left (\frac{(BC+AC+AB)(BC+AC-AB}{2.BC.AC} \right )$

$\Leftrightarrow$    sin$^2$ $\alpha$ = $\displaystyle \left (  \frac{(K-2BC)(K-2AC)}{2.BC.AC} \right )\left (\frac{K (K-2AB)}{2.BC.AC} \right )$

$\Leftrightarrow$    sin$^2$ $\alpha$ = $\displaystyle \left (  \frac{(2S-2BC)(2S-2AC)}{2.BC.AC} \right )\left (\frac{2S(2S-2AB)}{2.BC.AC} \right )$

$\Leftrightarrow$    sin$^2$ $\alpha$ = $\displaystyle \left (  \frac{4(S-BC)(S-AC)}{2.BC.AC} \right )\left (\frac{4S(S-AB)}{2.BC.AC} \right )$

$\Leftrightarrow$    sin$^2$ $\alpha$ = $\displaystyle \left (  \frac{2}{BC.AC} \right )^2 \left ( S(S-BC)(S-AC)(S-AB)\right )$

$\Leftrightarrow$    sin $\alpha$ = $\displaystyle \frac{2}{BC.AC}  \sqrt {S(S-BC)(S-AC)(S-AB)}$


Padahal   luas segitiga = $\displaystyle \frac{1}{2}\times AC \times BC . $ sin $\alpha$.  Maka diperoleh 

            Luas$_{\bigtriangleup ABC}= \displaystyle \frac{1}{2}\times AC \times BC . \left(  \frac{2}{BC.AC}  \sqrt {S(S-BC)(S-AC)(S-AB)} \right )$ 

$\Leftrightarrow$  Luas$_{\bigtriangleup ABC}=  \sqrt {S(S-BC)(S-AC)(S-AB)}$  




KESIMPULAN : Dari pembahasan kali ini sekurang-kurangnya ada 3 cara kita dalam menentukan besarnya luas segitiga ABC. yakni :

•  Luas$_{\bigtriangleup ABC}=\frac{1}{2}\times a_{\bigtriangleup}\times t_{\bigtriangleup}$
  
  
•  Luas$_{\bigtriangleup ABC}=\displaystyle \frac{1}{2}\times AC \times BC . $ sin $\alpha$
   jika diketahui panjang AC dan BC serta sudut  $\alpha$ sebagai sudut yang mengapitnya.   
  
  
•  Luas$_{\bigtriangleup ABC}=  \sqrt {S(S-BC)(S-AC)(S-AB)}$  
  
  
  
  
  

Materi lain berkenaan dengan segitiga dapat dilihat di link berikut ini

1. Cara menentukan luas segitiga dengan menggunakan konsep trigonometri
2. Teorema Meleneus dan Ceva
3. Teorema garis berat menurut Apollonius
4. Garis istemewa pada segitiga beserta pembuktian teoremanya
5. Teorema Stewart dan pembuktiannya

Teorema Melenaus dan Ceva

Melenaus dan Ceva adalah tokoh matematikawan yang mengungkapkan gagasan mengenai perbanbandingan yang berkaitan dengan segmen-segmen garis yang memotong setiap sisi pada segitiga. Di dalam teorema meleneus,  dijelaskan keterkaitan panjang sisi segitiga yang dipotong oleh segmen garis dan tiga titik yang segaris (kolinear) dengan menggunakan konsep perbandingan. Sementara terorema Ceva merupakan kasus lainnya dalam teorema Melenaus. Kedua teorema ini memiliki bentuk yang sangat mirip.

Menelaus Theorem

$\displaystyle \frac{BE}{EC} \times \frac{CD}{AD} \times \frac{AF}{BF}=1$

Bukti

Dengan menarik garis yang sejajar garis AC di titik B memotong garis AD maka didapatkan fakta berikut ini:

$\bigtriangleup EDC \approx \bigtriangleup EBG$ , maka $\displaystyle \frac{BE}{EC}=\frac{BG}{CD} \Leftrightarrow \frac{BE}{EC}\times \frac{BG}{CD} = 1$ ...... persamaan 1  $\bigtriangleup ADF \approx \bigtriangleup BGF$ , maka $\displaystyle \frac{AD}{BG}=\frac{AF}{FB} \Leftrightarrow \frac{AD}{BG}\times \frac{AF}{BF} = 1$ ...... persamaan 2

Maka dengan mengalikan persamaan 1 dan persamaan 2 diperoleh

$\displaystyle  \frac{BE}{EC}\times \frac{BG}{CD} \times \frac{AD}{BG}\times \frac{AF}{BF} = 1$

        $\displaystyle  \Leftrightarrow \frac{BE}{EC}\times \frac{AD}{CD} \frac{AF}{BF} = 1$

Sehingga terbukti kebenaran teorema Melenaus

Materi lain berkenaan dengan segitiga dapat dilihat di link berikut ini

1. Cara menentukan luas segitiga dengan menggunakan konsep trigonometri
2. Teorema Meleneus dan Ceva
3. Teorema garis berat menurut Apollonius
4. Garis istemewa pada segitiga beserta pembuktian teoremanya
5. Teorema Stewart dan pembuktiannya

Teorema Garis berat menurut Apollonius

Seorang matematikawan bernama Apollonius dari Yunani (262-192 SM) telah berhasil mengungkapkan hubungan antara garis berat dengan sisi-sisi yang terdapat pada segitiga. Garis berat itu sendiri didefinisikan sebagai garis yang menghubungkan salah satu sudut dengan sisi dihadapannya, dan membagi panjang sisi tersebut sama besar. Menurut Apollonius, jika pada sebuah segitiga ABC, garis AD merupakan garis berat, maka

        Appolonius Theorem:       $AB^2+AC^2=2(AD^2+BD^2)$

Teorema yang diungkapkan Apollonius sebenarnya merupakan kasus khusus dari teorema Stewart. Bahkan untuk kasus segitiga sama kaki, teorema ini kemudian dapat direduksi menjadi teorema phytagoras. Pembuktian dari teorema ini dapat dilakukan dengan menggunakan aturan cosinus.

Berdasarkan aturan cosinus dan fakta bahwa $BD =CD$, maka

 

$AB^2 = AD^2 +BD^2 - 2.AD.BD. cos (180^o-\beta)$

   $\Leftrightarrow$     $AB^2 = AD^2 +BD^2 - 2.AD.BD. -cos \beta$

   $\Leftrightarrow$     $AB^2 = AD^2 +BD^2 + 2.AD.BD. cos \beta$    ..................persamaan 1


$AC^2 = CD^2 +BC^2 - 2.CD.BC. cos \beta$

   $\Leftrightarrow$     $AC^2 = AD^2 +CD^2 - 2.AD.CD. cos \beta$    

   $\Leftrightarrow$     $AC^2 = AD^2 +BD^2 - 2.AD.BD. cos \beta$    ..................persamaan 2


Dengan mengeliminasi persamaan 1 dan persamaan 2 maka akan diperoleh

           $AB^2 = AD^2 +BD^2 + 2.AD.BD. cos \beta$    ..................persamaan 1
           $\underline {AC^2 = AD^2 +BD^2 - 2.AD.BD. cos \beta}$ +   ..................persamaan 2

   $\Leftrightarrow$     $AB^2 +AC^2 = 2 (AD^2 +BD^2)$


Dengan demikian, teorema Apollonius sudah terbukti kebenarannya.






Materi lain berkenaan dengan segitiga dapat dilihat di link berikut ini

1. Cara menentukan luas segitiga dengan menggunakan konsep trigonometri
2. Teorema Meleneus dan Ceva
3. Teorema garis berat menurut Apollonius
4. Garis istemewa pada segitiga beserta pembuktian teoremanya
5. Teorema Stewart dan pembuktiannya